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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱
考試科目代碼：[]考試科目名稱：泛函分析
一、考試內容及要點
1、距離空間和賦范線性空間
考試內容
（1）距離空間：距離空間的概念，距離空間中的開集閉集，稠密性與可分性，連續映射的概念，距離空間中的完備性，列緊集，緊集及其上連續映射，具體空間列緊集的判定定理，壓縮映射原理及其應用。
（2）賦范線性空間：線性空間、范數、賦范線性空間、Banach空間等概念，賦范線性空間上范數的等價性，常見的具體Banach空間及其常用的范數的定義。
考試要點
（1）熟悉距離空間的概念和一些具體的距離空間；理解距離空間中的開集閉集，稠密集與空間的可分性；熟練掌握連續映射的概念、距離空間中的完備性、列緊集和緊集以及其上連續映射的性質；掌握具體空間列緊集的判定法；熟練掌握壓縮映射原理，并會用壓縮映射原理分析映射的不動點。
（2）理解線性空間、范數、賦范線性空間等概念；掌握Banach空間、線性賦范空間上范數的等價性；熟悉某些常見Banach空間中常用的范數的定義。
2、有界線性算子與連續線性泛函
考試內容
有界線性算子和連續線性泛函的概念和其性質，線性算子空間、共軛（對偶）空間，某些常見Banach空間的共軛空間。
考試要點
掌握有界線性算子和連續線性泛函的概念和其性質，并會計算界線性算子和連續線性泛函的范數；理解線性算子的連續性和有界性，熟悉算子空間、共軛（對偶）空間的基本性質和某些常見Banach空間的共軛空間。
3、Hilbert空間
考試內容
內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征、正交系、正規正交基、正交化，Hilbert空間的同構，射影定理、Hilbert空間上的Riesz表示定理。
考試要點
熟悉內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征；熟練掌握正交系、正規正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空間的同構、Hilbert空間上的Riesz表示定理。
4、Banach空間的基本定理
考試內容
Hahn-Banach延拓定理及其推論，Riesz表示定理及應用，共軛算子及其性質，第一、第二綱的集，綱定理，一致有界定理及應用，開映射定理，閉圖象定理，弱收斂和弱收斂。
考試要點
熟練掌握Hahn-Banach延拓定理的推論、Riesz表示定理、一致有界定理及應用、開映射定理、閉圖象定理；掌握共軛算子及其性質；理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二綱的集；了解弱收斂和弱收斂。
原文鏈接：https://yjsy.hunnu.edu.cn/info/1027/13242.htm
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